令和4年3月11日: 東日本大震災トリアージ訴訟を掲載
数学的帰納法とは？
| 問題 nを自然数とするとき，次の式が成り立つことを証明せよ。 |
Σで計算しようとすると，nの4乗がでてくるので困ったことに計算ができません。確かに
などと代入してみると成り立つのはわかりますが，証明する相手は1, 2, … ではなく，nです。全てのnについて成り立つことを示さないといけないのです。nは無限に続くので，ひとつひとつ代入していってもきりがありません。「
で成り立ったのだから，全部成り立つでしょう」というのは認められません。「じゃあ，成り立つことが永遠に続くという証拠は？」と突かれてそれまでです。
そこで考え出されたのが，数学的帰納法の骨格の
 で成り立つなら， でも成り立つ |
という，魔法の鍵なのです。このことさえ示せれば，後はこの鍵が自動的に，「n = 2で成り立つなら，n = 3でも成り立つし，n = 3でも成り立つならn = 4でも…」と，無限に続くnの全てについて，次々と示してくれることになるわけです。
ただしこの鍵は，最初に成り立つnがあってこそ使えるものですから，この鍵を実際に使うには，最初の一歩の使い出し点を用意してやらねばいけません。それが数学的帰納法のもう１つのポイントである，
 のとき成り立つ |
ことを示すことなのです。
のときに成り立つことが示せれば，魔法の鍵はこれを出発点として無限に働くわけです。
さて，先の等式を実際に証明してみましょう。
まず，
のときですが，左辺は
だけになりますし，右辺は
となって，いずれも24で等しいことがわかります。
次に肝腎の
 で成り立つなら， でも成り立つ |
ことの証明ですが，具体的に n = k のときの式と，n = k +1 のときの式を書いてみるとわかりやすくなります。
まず
のときは
……(1)
次に
のときの式は，
……(2)
となります。魔法の鍵の証明は，
| (1)が成り立つならば(2)も成り立つ |
ことを証明する，つまり(1)を使って(2)を証明すればいいわけです。(2)を証明するには，「(2)の左辺−(2)の右辺＝0」が示せればよいですから，(2)の左辺−(2)の右辺を計算しはじめると，
(2)の左辺−(2)の右辺
＝
……★
となりますが，このうち１行目の
は，(1)より
と等しいので，★の式にこれを代入してみると，
となり，めでたく証明できたことになります。
実際に数学的帰納法を使うときにはこのように，n＝k のときの式((1)の式)と，n＝k+1 のときの式((2)の式)をきちんと書いてみて，(1)を使って(2)を証明すればいい，と考えれば俄然証明しやすくなります。
