対数とはどんな数か？

　これは，「2を3乗すると8である」という意味です．これを見方を変えると，「2を8にする指数は，3である」と言うこともできます．このときの「3」を，「2を8にする指数」という意味を込めて，

　と書くことにしたのです．つまり log₂8 は「2を8にする指数」という意味であり，これが，対数の基本です．一般には

　であるとき，「は，をにする指数」という意味で，

と書くわけです．このときを底とよび，正でしかも１以外とされています．またを真数とよび，元々は y=a^x でしかもが正なのですから，真数も正の数ということになります．

　さて，次に，「2を7にする指数」つまり log₂7 を考えます．2を2乗すれば4ですし，2を3乗すれば8ですから，2を7にする指数は2と3の間にあるはずです．しかしぴったりした数ではないので，このようなときは仕方なく，log₂7 のままにしておきます．

　ところで，次の値を簡単に直すとどうなるでしょうか．

（2の log₂8 乗）

（2の log₂7 乗）

　一つめは，ですから，結局は2の3乗ということで，8とわかります．しかしもっとうまい考え方があります．もともと log₂8 は「2を8にする指数」で，ではその「2を8にする指数」が実際に2の指数になっているのですから，に決まっているのです．「2^*= 8」を満たすような「*」を log₂8 とあらわしたのですから，は当然です。(ここが一番重要なところです。ゆっくり考えて理解してください)

二つめも同じことです．log₂7 自体は綺麗な数ではないですが，「2を7にする指数」なのですから，のように「2を7にする指数」を実際に2の指数にすれば，になるわけです．

　一般には，次のように表せます．

　ところでこれを逆に使うと，どんな数でも任意の底の指数表示に変えることが出来ます．例えば7は，と表せますし，や (ただしは正でしかも1以外)などにも変えられます．

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